Előfizetés a lapra

Magyar sikerek a számelméletben

A hét kutatója, Diofantosz, Európai Akadémia, interjú, matematika, számelmélet

2016/12/21

Nemrégiben tagjai sorába választotta az Európai Akadémia Győry Kálmán akadémikust, a Debreceni Egyetem volt rektorát, nemzetközi hírű matematikust. A professzor emeritusszal – akinek 75. születésnapját tavaly több száz résztvevős nemzetközi konferenciával ünnepelte anyaintézménye – ebből az alkalomból beszélgettünk kutatói pályájáról és az elért eredményekről, amelyek idáig vezették.

– Mi az Európai Akadémia küldetése, és miért rang a tagjai közé tartozni?

– Az Európai Akadémia  földrészünk tudományos életének legrangosabb testülete, amely tagjának lenni nagy megtiszteltetést jelent. 1988-ban hozták létre a legjelesebb, legsikeresebb tudósok, kutatók tömörítésére azzal a céllal, hogy növelje a tudomány társadalmi elismertségét, véleményt formáljon, annak hangot adjon, tanácsokkal lássa el a döntéshozókat globális, illetve egyéb kulcsfontosságú kérdésekben. A testület két tag ajánlására, javaslatára – akik egyike lehet az aspiráns honfitársa – vesz fel új tagot többfordulós választási procedúrát követően. A nemrég lezárult felvételi eljárásban többen voltunk magyar matematikusjelöltek, ám végül kettőnket, Tóth Bálintot, a Budapesti Műszaki Egyetem professzorát és engem választott soraiba az Akadémia. A testületben jelenleg 104-en vagyunk magyarok, ebből kilencen matematikusok, közöttük a Wolf-díjas Lovász László, az MTA elnöke, Szász Domokos, az Akadémia alelnöke és Szemerédi Endre, aki nemrég kapott Abel-díjat.

– Miért a matematikát választotta élethivatásául?

– Általános iskolás koromban nagyon szerettem sakkozni. Bár nem indultam minősítő versenyen, első osztályú szinten sakkozhattam. Aztán az ózdi József Attila Gimnáziumba kerültem, amelynek kiváló tanári gárdája volt. A matematikára egy jól sikerült felmérő dolgozatot követően szaktanárom irányította a figyelmemet: a dolgozat nyomán azt javasolta, hogy küldjek be megoldásokat a Középiskolai Matematikai Lapoknak. Elkezdtem az országos pontverseny feladatait oldogatni, és sikerrel jártam: másodikban 2. helyezést értem el, harmadikban, negyedikben pedig megnyertem a pontversenyt. Ekkor szerettem meg igazán a matematikát, és ekkor határoztam el, hogy számelmélettel, sőt ezen belül a diofantoszi számelmélettel fogok foglalkozni.

– Országos matematikaversenyeken elért kiemelkedő eredménye ellenére Önt érettségi után nem vették fel az ELTE-re. Mi volt ennek az oka?

– Jól sikerült a felvételim, maximális pontszámot értem el, mégsem vettek fel, mert közbeszólt a politika vagy inkább az emberi kicsinyesség. 1956-ot írtunk, édesapámat, aki a dolgozók általános iskolájában tanított, tanítványai beválasztották egy munkástanácsba. A tantestület pedig amellett kardoskodott, hogy az iskolaigazgatót, akit önkényeskedése miatt a közösség nem szeretett, helyezzék el az intézmény éléről. Nos, a forradalom után ennek az igazgató minden beosztottjára nézve kellemetlen következménye lett. Apámat illetően az, hogy a fiát nem vették fel az egyetemre. Ugyanis apám igazgatója levelet írt a minisztériumba, amelyben az ’56-os eseményekre hivatkozva kérte, hogy utasítsák el a felvételi kérelmemet.

– Hogyan került a viszontagságok után Debrecenbe?

– Az ózdi tanácselnök asszony javasolta, hogy ne az ELTE-re jelentkezzek, hanem valahova vidékre. Így választottam Debrecent, a Kossuth Lajos Tudományegyetemet, ahol már egyetemi hallgatóként elkezdtem dio­fan­to­szi számelmélettel foglalkozni. Ebben úttörő voltam. Akkoriban Budapesten Turán Pál és Erdős Pál világhírű matematikusok vezetésével virágzó analitikus számelméleti és kombinatorikus számelméleti iskola működött. Kifejezetten diofantoszi egyenletekkel azonban Magyarországon senki nem foglalkozott.

Turán Pál

– A nehézségek ellenére hamar belekerült a matematika nemzetközi vérkeringésébe.

– Üggyel-bajjal, de végül keresztülverekedtem magam az akadályokon és megszereztem a szükséges háttértudást. Miután végeztem, maradtam az egyetem matematikai intézetében gyakornoknak, majd tanársegéd lettem, ledoktoráltam. Pályámat nagyban segítette, hogy debreceni professzoraim bemutattak Turán Pálnak, aki aztán később aspiránsvezetőm lett. Neki és Erdős Pálnak köszönhetően megismerkedtem a világ olyan, számelmélettel foglalkozó vezető kutatóival, akik pontosan tudták, hol tart a modern diofantoszi számelmélet. Diofantosz Alexandriában élő görög matematikus volt, aki olyan problémákkal foglalkozott, melyek elsőfokú, kétismeretlenes egyenletek egész megoldásainak keresésére vezetnek. Diofantosz után azokat az első- vagy magasabb fokú egyenleteket, amelyek megoldásait egész számokban keressük, diofantoszi egyenleteknek nevezzük. Ilyen egyenlet például az x2+y2=z2 pitagoraszi egyenlet, melynek végtelen sok egész megoldása van, 3,4,5; 5,12,13 és így tovább. Fermat, a XVII. század egyik kiemelkedő matematikusa olvasva Diofantosz könyvét, úgy találta, hogy az egyenletnek csak és kizárólag négyzetszámokra van pozitív egész megoldása, ám ha köbszámokat, negyedik hatványokat vagy ennél magasabb hatványokat veszünk, akkor már nincs megoldás. Erről tanúskodik Diofantosz könyvének margójára írt feljegyzése, ami szerint ott túl kevés a hely, így nem tudja tételének bizonyítását részletezni. Odavetett megjegyzése „nagy Fermat-sejtésként” vonult be a matematikai köztudatba, és évszázadokra feladta a leckét a kutatóknak. Nagyon sokan foglalkoztak vele, de csak 1995-ben sikerült a sejtést bizonyítani Andrew Wilesnek.

 A számelméletben sok más olyan probléma van, amely nagyon egyszerűen megfogalmazható, ám a bizonyítása napjainkban reménytelennek tűnik. Ilyen például a Goldbach-probléma 1742-ből. Eszerint bármelyik 2-nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként. Például, a négy az 2+2, a hat 3+3, a nyolc az 3 + 5 és így tovább. Goldbach ezt az állítást le is ellenőrizte 30 000-ig. Akkoriban nem voltak számítógépek, ezért nem tudta folytatni az okoskodást. Ezért Eulerhez fordult, kora legnagyobb matematikusához, állítván, hogy ez igaz lesz minden páros számra. A sejtés máig sincs bebizonyítva. Pedig, ugye könnyű megfogalmazni. Egy nyolcadikos diák is megérti, csak legfeljebb azon csodálkozik, hogyhogy nem lehetett ezt eddig bizonyítani. Hát úgy, hogy minden páros számra kellene igazolni az állítást. Nem százig vagy tíz a tizedikenig, hanem minden páros számra. Ez benne a nehéz. Az ilyen problémáknak köszönheti a számelmélet a varázsát és persze egyben a nehézségét.

Diofantosz híres műve

– Milyen eredmények publikálását követően lett a Magyar Tudományos Akadémia tagja, és milyen kutatásokban vett részt azóta?

– A diofantikus számelméletben volt egy nagy áttörés, amelyben jelentős szerepem volt. Amikor többismeretlenes és magasabb fokú diofantoszi egyenleteket tekintünk, a kérdés az, hogyan lehet azok megoldására algoritmust kidolgozni. Kétismeretlenes esetben a 60-as évek végén már voltak ilyen eredmények. A Fields-érmes Alan Baker, aki a szakterület elsőszámú művelője a világon, kidolgozott egy rendkívül mély módszert arra, hogy véges sok megoldás esetén hogyan lehet a legfontosabb kétismeretlenes egyenletek összes megoldására korlátot adni, és ezzel egyben algoritmust is szolgáltatni az egyenletek megoldására. Ha ugyanis van egy felső korlát valamennyi x,y megoldásra,  akkor a korlátig behelyettesítéssel elvileg minden egyes x, y egész számpárt ki tudunk próbálni, hogy az megoldás-e, vagy sem. Ez az általános eljárás persze konkrét egyenletek esetén nem ad hatékony algoritmust, de algoritmus, amely konkrét esetekben a nevezetes Lenstra–Lenstra–Lovász-féle algoritmussal kombinálva lényegesen hatékonyabbá tehető. Később Baker eredményeit sikerült kiterjesztenem magasabb fokú, tetszőleges ismeretlenszámú egyenletek néhány fontos osztályára, ami igen jelentős alkalmazásokhoz vezetett egyebek között az algebrai számelméletben, és egyben több régi, nyitott probléma megoldását tette lehetővé. Eredményeimnek komoly nemzetközi visszhagja volt.

 Nemrégiben Jan-Hendrik Evertse holland kollégámmal egy másik irányban is sikerült jelentős áttörést elérnünk. Kiderült, hogy a diofantoszi egyenletek nemcsak akkor érdekesek, ha a megoldásokat egész számokból vesszük, hanem jóval bővebb halmazokból, nevezetesen az egész számok felett végesen generált gyűrűkből is vehetjük, melyek algebrai és transzcendens számokat is tartalmazhatnak. Ezzel a korábbi elméletet sikerült a lehető legáltalánosabb esetre kiterjesztenünk az ismeretleneket tartalmazó alaptartományok vonatkozásában. Ezeknek az új, általános eredményeknek szintén nagyon fontos alkalmazásai vannak.

 DOMBI MARGIT

 

2016/41